Может ли отец, лишенный родительских прав, претендовать на восстановление своего права?

претендовать то может и в суд обратиться, но с учетом того, что он за 6 лет ни разу не платил алименты и не помогал, о чем Вы обязательно должны указать ему откажут.

постановление Пленума Верховного Суда РФ от 14.11.2017 N 44
«О практике применения судами законодательства при разрешении споров, связанных с защитой прав и законных интересов ребенка при непосредственной угрозе его жизни или здоровью, а также при ограничении или лишении родительских прав»

2. Дела об ограничении или о лишении родительских прав, об отмене ограничения родительских прав или о восстановлении в родительских правах, а также о признании недействительным акта органа исполнительной власти субъекта Российской Федерации или главы муниципального образования об отобрании ребенка и о возврате ребенка в семью подлежат разрешению районным судом по месту жительства (нахождения) ответчика (статьи 24 и 28 Гражданского процессуального кодекса Российской Федерации, далее — ГПК РФ). Если одновременно с иском об ограничении или о лишении родительских прав заявлено требование о взыскании алиментов на ребенка (например, родителем, с которым проживает ребенок), то такой иск исходя из положений части 3 статьи 29 ГПК РФ может быть предъявлен истцом в суд по месту его жительства.
Решая вопрос о принятии к производству суда искового заявления по этим делам, необходимо иметь в виду, что в соответствии с пунктом 1 статьи 54 СК РФ ребенком признается лицо, не достигшее возраста восемнадцати лет (совершеннолетия).
Если ребенок достиг возраста восемнадцати лет либо приобрел полную дееспособность до достижения названного возраста в результате эмансипации или вступления в брак (пункт 2 статьи 21, пункт 1 статьи 27 Гражданского кодекса Российской Федерации, далее — ГК РФ), судья с учетом положений пункта 2 статьи 61 СК РФ отказывает в принятии искового заявления на основании пункта 1 части 1 статьи 134 ГПК РФ, а если производство по делу возбуждено, суд прекращает производство по делу в соответствии с абзацем вторым статьи 220 ГПК РФ.
3. С учетом положений статьи 78 СК РФ и статьи 47 ГПК РФ дела указанной категории рассматриваются судом с участием органа опеки и попечительства, который обязан провести обследование условий жизни ребенка и его родителя (родителей), в отношении которого (которых) поставлен вопрос об ограничении или о лишении родительских прав, либо лица, претендующего на воспитание ребенка (родителя (родителей), обратившегося в суд с иском об отмене ограничения родительских прав или о восстановлении в родительских правах, родителя (родителей) или лица, на попечении которого ребенок находился, требующих возврата ребенка, отобранного у них на основании статьи 77 СК РФ).